Tesi di laurea

“Modelli binomiali per la valutazione di opzioni path-dependent”

La tesi tratta il problema della valutazione del prezzo delle opzioni attraverso l’utilizzo di modelli discreti. Si analizza in particolare il problema del prezzamento delle opzioni esotiche di tipo path-dependent attraverso alcuni modelli binomiali. Per la sua comprensione è necessario avere già una conoscenza di base degli argomenti trattati.

Indice

Introduzione
In questa parte viene presentata la struttura e gli obiettivi della tesi.
Capitolo 1
Si introduce il problema della valutazione delle opzioni, la soluzione esistente di Black e Scholes e i problemi che questa lascia aperti.
Capitolo 2
Viene presentato il modello discreto di Cox, Ross e Rubinstein.
Capitolo 3
I principali modelli binomiali esistenti, oltre al modello CRR.
Capitolo 4
Utilizzo dei modelli binomiali per la valutazione di opzioni di tipo path-dependent.
Capitolo 5
Si presenta un confronto di alcuni dei modelli attraverso un’indagine empirica.
Bibliografia.

Introduzione

I prodotti finanziari derivati, e le opzioni in particolare, negli ultimi anni hanno ottenuto un notevole successo presso gli investitori. A questo si è accompagnato un crescente interesse degli studiosi e ricercatori per la loro valutazione.

La prima soluzione soddisfacente in forma chiusa è stata proposta da Black e Scholes (1973). Il loro modello si basa su tre concetti fondamentali: andamento lognormale del prezzo del titolo sottostante, delta hedging e valutazione neutrale al rischio. Il primo si riferisce al fatto che il titolo sottostante si suppone quotato continuamente, con prezzi che seguono una passeggiata casuale descritta dal moto geometrico Browniano. I rendimenti si suppongono distribuiti normalmente, di conseguenza l’andamento del prezzo del titolo si suppone distribuito in modo lognormale. Il secondo e il terzo concetto sono strettamente correlati. Con delta hedging si intende la possibilità di creare un portafoglio, costituito da una posizione su un titolo ed una contraria in opzioni sullo stesso titolo, che garantisce un rendimento costante se continuamente ribilanciato. In questa condizione il portafoglio non è soggetto al rischio e può essere valutato attualizzandone i flussi attesi al tasso di interesse delle attività prive di rischio. Black e Scholes sono riusciti così ad ottenere la loro celebre formula di valutazione delle opzioni standard di tipo call. Questa impostazione si può facilmente adattare per poter valutare le opzioni put e le opzioni su titoli che distribuiscono dividendi, ma non esiste nessuna variazione che consenta di considerare l’esercizio anticipato. Oltre alle opzioni americane rimangono non valutabili nell’impostazione di Black e Scholes numerosi tipi di opzioni dal payoff non standard.

In tempi recenti l’interesse verso le opzioni esotiche è cresciuto notevolmente, soprattutto nel mercato over-the-counter. Tra le opzioni esotiche si può individuare la classe delle opzioni path-dependent. Un’opzione è detta path-dependent se il suo prezzo dipende dall’evoluzione del prezzo del titolo sottostante durante la vita dell’opzione, oltre che dal prezzo di quest’ultimo alla scadenza e dal tempo che manca alla scadenza. L’interesse dei ricercatori si è quindi spostato verso la definizione di un metodo di valutazione di questi tipi di opzioni. Se per alcuni tipi di opzioni la soluzione del problema si può ottenere adattando l’impostazione di Black e Scholes, per numerosi altri è necessario ricorrere a metodi di approssimazione del modello continuo, quali i modelli binomiali.

Il modello binomiale è stato proposto da Cox, Ross e Rubinstein (1979)e, simultaneamente, da Randleman e Burtter (1979). Si basa su un’impostazione discreta, nella quale il tempo che manca alla scadenza dell’opzione viene diviso in periodi, all’interno dei quali il prezzo del titolo sottostante può assumere solo due valori alternativi. L’andamento del prezzo del titolo viene così descritto da un processo moltiplicativo binomiale, rappresentabile con una trama o reticolo. All’interno di ogni periodo si ha una versione discreta del processo di delta hedging, per cui anche in questo caso è applicabile la valutazione neutrale al rischio. E’ possibile determinare il prezzo dell’opzione un’istante prima della scadenza, da questo ottenere il valore due istanti prima, e così di seguito scorrendo l’albero binomiale fino al tempo attuale. Questo modo di procedere viene chiamato induzione all’indietro. Attraverso semplici considerazioni di arbitraggio Cox, Ross e Rubinstein sono riusciti ad ottenere una formula per la valutazione delle opzioni standard call e put, anche su titoli che distribuiscono dividendi. Ma più interessante è la procedura numerica che ne deriva, in grado di valutare opzioni che permettono l’esercizio anticipato e, con gli opportuni adattamenti, opzioni dal payoff complesso. La struttura del modello binomiale si basa essenzialmente su versioni discrete degli stessi argomenti che sono alla base del modello di Black e Scholes. Cox, Ross e Rubinstein hanno dimostrato che, per determinati valori dei parametri del modello, la distribuzione binomiale del prezzo del titolo sottostante, al tendere del numero di periodi in cui viene divisa la vita dell’opzione all’infinito, converge alla distribuzione lognormale, e così la formula binomiale converge alla formula di Black e Scholes. La definizione dei parametri dell’albero porta alla definizione di un modello binomiale. La soluzione di Cox, Ross e Rubinstein è nota come modello CRR.

Considerare la distribuzione binomiale come un’approssimazione di quella continua lognormale ha spinto numerosi autori alla ricerca di una definizione dei parametri dell’albero in grado di garantire una convergenza migliore. Il concetto di qualità della convergenza non ha, comunque, una definizione univoca, tanto che ogni autore segue una sua strada. Jarrow e Rudd (1983) hanno proposto un modello (modello JR) che garantisce l’uguaglianza dei parametri della distribuzione binomiale e lognormale per qualunque numero di periodi, cosa non vera nel modello CRR. Tian (1993) ha proposto un modello (modello Tian) nel quale i momenti non centrali primo, secondo e terzo delle due distribuzioni sono uguali per qualunque numero di periodi in cui venga divisa la vita dell’opzione. Leisen e Reimer (1995), studiando le caratteristiche della convergenza dei modelli precedenti, sono giunti alla definizione di tre modelli (modelli CP, PP1, PP2) sviluppati applicando delle approssimazioni della distribuzione normale alla binomiale invertita, ottenendo secondo loro una migliore qualità della convergenza. Possono essere considerate delle estensioni del modello binomiale il modello trinomiale di Boyle (1988)e il modello multinomiale di Omberg (1988). Nel primo il prezzo del titolo sottostante dopo ogni periodo può assumere tre valori, nel secondo numerosi valori. E’ stato dimostrato che un aumento del numero di valori alternativi che può assumere il prezzo del titolo dopo un periodo consente di ottenere un determinato livello di precisione dell’approssimazione con un numero minore di passi.

Per valutare le opzioni path-dependent il modello binomiale standard deve essere modificato. Hull e White (1993) hanno sviluppato un metodo, basato sul modello CRR, nel quale si utilizza una variabile ulteriore il cui valore dipende dall’evoluzione passata del prezzo del titolo. In ogni nodo dell’albero binomiale esisteranno numerosi valori di questa variabile, dato che ci sono numerosi percorsi possibili per arrivare ad un determinato nodo, ad ognuno dei quali corrisponde un valore dell’opzione. Con questo metodo è possibile valutare le opzioni lookback. Quando il numero di valori alternativi della variabile addizionale è molto elevato, come nel caso delle opzioni asiatiche, si considerano solo alcuni valori, e se questi sono insufficienti si determinano gli altri ricorrendo a una procedura di interpolazione dei valori noti. Wilmott, Dewynne e Howison (1993), come Hull e White, hanno sviluppato un metodo basato sull’utilizzo di una seconda variabile (e anche di altre) per valutare le opzioni path-dependent, ma per evitare il problema del numero eccessivo di valori che può assumere non utilizzano un albero con trame che si riconnettono, bensì un albero binario. In questo modo c’è un solo percorso possibile per arrivare ad un determinato nodo. Questi due metodi permettono di valutare sia opzioni sulla media che opzioni lookback. In particolare riescono a prezzare opzioni sulla media aritmetica, per le quali non esiste una soluzione analitica. Inoltre permettono di valutare un’opzione basandosi su diversi modelli binomiali. Per la valutazione delle opzioni lookback Cheuk e Vorst (1994) hanno proposto una procedura più elegante: invece di utilizzare esplicitamente due variabili, utilizzano una variabile ausiliaria che sintetizza le informazioni del prezzo del titolo corrente e del suo percorso passato. I valori possibili della variabile ausiliaria alla scadenza dell’opzione sono determinabili facilmente, mentre il suo valore iniziale, che consente di prezzare l’opzione, è ottenuto attraverso l’induzione all’indietro utilizzando un albero “binomiale triangolare”. Ad essi si deve inoltre l’analisi della frequenza di campionamento. Nei contratti reali per la determinazione della media (per le opzioni asiatiche) o del minimo/massimo (per le opzioni lookback) del prezzo del titolo sottostante si fa riferimento alle quotazioni di chiusura giornaliere o settimanali. Mentre i modelli binomiali possono essere adattati per tenere conto di questo, le soluzioni continue ipotizzano che la determinazione del prezzo medio/minimo/massimo avvenga continuamente. La differenza nei prezzi forniti dal modello binomiale modificato (discreto) e continuo è in gran parte attribuibile a questo.

Sono stati realizzati due programmi che implementano al calcolatore il metodo di Wilmott per la valutazione, in base a diversi modelli binomiali, di tutti i tipi di opzioni path-dependent considerate in questa tesi, e il metodo di Cheuk e Vorst per la valutazione delle opzioni lookback floating strike. L’analisi empirica svolta ha evidenziato come la flessibilità del metodo di Wilmott si paghi in termini di velocità di elaborazione: è necessario valutare le opzioni su un basso numero di periodi, a scapito della precisione, per ottenere i risultati in tempi accettabili. I modelli CRR, JR e Tian non presentano differenze significative dal punto di vista della convergenza al continuo, e l’errore di approssimazione risulta molto sensibile ai valori che assumono i parametri del calcolo. I modelli PP1 e PP2 presentano delle approssimazioni quasi sempre peggiori degli altri. Il metodo di valutazione di Cheuk e Vorst, dove applicabile, è preferibile a quello di Wilmott per la maggiore velocità con cui svolge i calcoli, che consente di effettuare la valutazione delle opzioni su un numero elevato di periodi.

La struttura della tesi è la seguente. Nel primo capitolo si descrivono brevemente i concetti alla base del modello di Black e Scholes e che si ritrovano, nelle loro versioni discrete, nei modelli binomiali. Nel secondo capitolo si descrive il modello binomiale in generale e il modello CRR. Nel terzo capitolo si presentano i principali modelli binomiali esistenti, oltre al modello CRR: il modello di Jarrow e Rudd (JR), quello di Tian, e i tre proposti da Leisen e Reimer (CP, PP1 e PP2). Si descrivono brevemente anche il modello trinomiale di Boyle e quello multinomiale di Omberg. Nel quarto capitolo si presentano i metodi binomiali per la valutazione delle opzioni path-dependent: i metodi di Hull e White e di Wilmott, per le opzioni sulla media e lookback, e la procedura di Cheuk e Vorst per le opzioni lookback. Infine nel quinto capitolo si presenta un’indagine empirica riguardante il modello di Wilmott e quello di Cheuk e Vorst.